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Autor: Ángel Míguez------revista Enseñanza de la Matemática, Vol. 11, N° 1, 2003 editada en Venezuela.
UNA-UCV
Resumen:En este artículo se aprovecha una experiencia de enseñanza de los números enteros en 7° grado de Educación Básica (12 años), para presentar una aplicación de los postulados del Interaccionismo Simbólico a la enseñanza de la matemática. En el mismo se concluye que debemos aceptar al estudiante como un interlocutor válido con creencias y concepciones; que debemos crear dentro y fuera del aula el espacio de experiencias para que la convivencia entre el profesor de matemáticas, el alumno y las matemáticas mismas sean cada vez más congruentes; que las teorías y la experiencia guían nuestras acciones como docentes, pero el contexto del aula y nuestros estudiantes las determinan; que para que el estudiante adquiera el dominio matemático que deseamos, debe vivir un proceso del cual somos los principales responsables y que se hace necesario aceptar que nuestra acción entrelaza en el alumno lo cognitivo con lo socio-emocional.
Palabras Clave: Interaccionismo Simbólico, Enseñanza de los Números Enteros.
Introducción
Entrar al aula de clases y sentir el compromiso de desarrollar una actividad que permita a los estudiantes adquirir un nuevo conocimiento es la fuerza que mueve la acción de todo verdadero docente.Esta emocionalidad se convertirá en acción bajo ciertas premisas teóricas y estará determinada por las creencias y experiencias del docente que las vive.Más allá de lo señalado, el profesor de matemáticas debe percibir al otro, al estudiante, como la razón de ser de su acción. La ausencia de esta percepción hace que el docente pierda la noción de lo que debe ofrecer como profesor de matemáticas, socava la noción de su actividad profesional. (Schön, 1 998).Es por ello que en este artículo ofrecemos una perspectiva de aplicación del Interaccionismo Simbólico en el desarrollo de la labor docente dentro de un aula de matemáticas repleta de alumnos reales.
Entrando al Aula
Entrar a un aula a enseñar matemáticas exige del docente, además del conocimiento matemático, una preparación previa, su propia preparación, el estudio de las distintas teorías epistemológicas, psicológicas y didácticas que lo ayudaran “a comprender el aprendizaje matemático de los niños y jóvenes y las dificultades que éste pueda presentar” estas teorías le ofrecerán “un marco de referencia eficaz y práctico para la planificación cotidiana y a largo plazo”. (Baroody, 2 000 pág.13)La tentación del conductismo en una clase de matemáticas es tan grande como la historia de la enseñanza de esta disciplina, es un valor social la memorización de las tablas de multiplicar o la rapidez mental al sumar sin usar los dedos, todo esto se basa en criterios observables y mesurables, dos de los tres fundamentos evidenciadores de las leyes del conductismo. (Amigues y Zerbato-Poudou, 1 999).La crítica a los postulados del conductismo puede llevar a falsas concepciones de cómo diferenciarse de ellos. En matemática muchos conciben que la ejercitación no es más que un acto conductista, sin embargo, el estudiante para conocer debe desarrollar un conjunto de actividades que le permita definir y estructurar los objetos matemáticos que manipula y esa interacción recíproca entre el estudiante y los objetos matemáticos son los que permitirán que él se apodere de los mismos conociéndolos, transformándolos y haciéndolos parte de su repertorio de uso familiar y cotidiano. (Hernández, 1 998).Ahora bien, si aceptamos que el estudiante debe familiarizarse con los objetos matemáticos por la vía de la ejercitación, resolución de problemas y a través de la reflexión-discusión sobre los conceptos, los algoritmos y procedimientos implícitos en estas actividades, y aceptamos esto como el pilar que sustenta la comprensión de las matemáticas por parte del alumno, debemos aceptar también que las dimensiones culturales y sociales en las que están inmersos los estudiantes no son condiciones periféricas del aprendizaje matemático sino parte intrínseca del mismo, tal como lo supone el interaccionismo simbólico (Godino y Llinares, 2 000). Por esto proponemos que se desarrolle como actividad sustancial en el aula de matemáticas la negociación de los significados entre el docente, los alumnos y la matemática como ciencia.Al entrar al Aula de Matemáticas, el docente, no sólo debe llevar su legajo de teoremas, definiciones, ejemplos, ejercicios y problemas, sino que debe dejarse acompañar de la firme convicción de que sus alumnos conciben y conocen la matemática y sus medios de expresión (los símbolos) de alguna manera. Esto obliga al docente a compartir y negociar con ellos los significados matemáticos para que el flujo de la clase se desarrolle de forma viable. (Godino y Llinares, 2 000)
Un Lenguaje con muchos símbolos
René Thom (1 973, citado por Pimm, 1 990) afirma que el problema fundamental de la enseñanza de las matemáticas consiste en la construcción del significado más que en la cuestión del rigor. Este planteamiento configura un reto tanto para el docente en su actividad en el aula como para el redactor de los libros de texto de matemáticas, ya que “los niños, como nosotros mismos, tratan de dar sentido a todo cuanto escuchan o leen. La búsqueda de significado puede conducirnos a algunas conclusiones poco habituales”... “Es claro que el discurso matemático incluye términos especializados y significados distintos de los habituales en el habla cotidiana”. (Pimm, 1 990, pág. 32).Basándonos en estos planteamientos y para mostrar la importancia del aporte del interaccionismo simbólico a la enseñanza de la matemática, veamos por un momento el papel de los símbolos en la matemática escolar, la que se usa en el aula, luego de presentar algunas de las premisas y fundamentos de este enfoque.
Símbolos y significados
La matemática está repleta de símbolos y los docentes debemos sensibilizarnos al hecho de que nuestro dominio sobre esos símbolos es producto de un proceso que los alumnos no han vivido.Los símbolos son muy diferentes a las señales. Un símbolo es una designación arbitraria, ambigua y abstracta de algo -objeto, evento, personas, relación, condición o proceso-. Distinto a las señales, los símbolos no existen en una relación biunívoca con lo que ellos representan, están sujetos a una gran variedad de interpretaciones por parte de aquellos que lo usan (González 1 998)Los símbolos son la base de la comunicación humana, son la base sobre la que se estructuran ideas y pensamientos y en consecuencia las acciones cotidianas de los seres humanos, más siempre debemos recordar que son aprendidos y su aprendizaje es contextual y en ello intervine la persona y su entorno social y cultural.Para Herbert Blumer[1], (según González, 1 998) el Interaccionismo Simbólico se basa en tres premisas:Los seres humanos actúan hacia los fenómenos sobre la base de los significados que ellos les atribuyen. Estos significados surgen en contextos sociales.Mediante un proceso de interpretación, basado en la autocomunicación, el individuo modifica y maneja sus significados particulares.El artículo de Godino y Llinares (2 000, pág. 2) esquematiza los fundamentos del Interaccionismo Simbólico así.El profesor y el estudiante constituyen interactivamente la cultura del aula.Las convenciones y los convenios tanto en lo relativo al contenido de la disciplina, como en las regularidades sociales, emergen interactivamente, y el proceso de comunicación se apoya en la negociación y los significados compartidos.
Una experiencia de negociación de significados
Al diseñar las actividades de aprendizaje para los Números Enteros en 7° grado de Educación Básica (12 años aproximadamente) Míguez y Becerra (1 988) partían, en forma empírica, de una de las fuentes de error de los alumnos al realizar las operaciones con números enteros, a saber, la confusión que se presentaba con el uso de los símbolos ‘más’ (+) y ‘menos’ (-) para indicar el signo del número y la introducción de los números negativos en las operaciones de adición y sustracción.Partiendo de que las convenciones y los convenios que se usan en la clase de matemática no deben ser contradictorios con los de esta ciencia se propuso un conjunto de actividades que permitieran la construcción de un significado común para el símbolo + (cruz) y el símbolo – (guión); pero cuando decimos ‘en común’, el proceso se guió de la siguiente manera, primero debería surgir un acuerdo entre los estudiantes en las discusiones desarrolladas y al final se apelaba al carácter universal de los símbolos matemáticos para asumir el acuerdo definitivo.La experiencia planteaba situaciones plausibles, que eran susceptibles de simbolización: calor-frío, altura-profundidad, aumentar-disminuir, subir-bajar, crédito-débito. Primero se les pidió a los estudiantes que crearan un símbolo para cada una de las situaciones, luego se les pidió que acordaran un símbolo para cada una de las situaciones, para finalizar se les solicitó crear un símbolo único para usarlo en las cinco situaciones planteadas. En cuatro de las seis aulas se llegó al acuerdo de usar la cruz y el guión, la cruz para temperaturas calientes, alturas, aumentar de peso, subir pisos, tener dinero y el guión para las temperaturas frías, profundidades, disminuir de peso, bajar pisos, deber dinero.Todas las situaciones usaban números acompañados del símbolo correspondiente a cada situación planteada. Por ejemplo: +3 pisos, para indicar que se subieran tres pisos; -10 Kg., para indicar que se disminuyeran diez kilogramos. Una vez alcanzados los acuerdos se presentaron los números positivos como los asociados a temperaturas calientes, alturas, aumentar de peso, subir pisos, tener dinero y los números negativos como aquellos asociados a las temperaturas frías, profundidades, disminuir de peso, bajar pisos, deber dinero, señalando que al igual que en los casos estudiados, la matemática usa los números positivos (la cruz asociada al numeral) y negativos (el guión asociado al numeral) para referirse a situaciones similares a las anteriores y de forma abstracta.En las aulas en las que los acuerdos eran distintos a la cruz y al guión, basándonos en el hecho de que el proceso de comunicación se apoya en la negociación y los significados compartidos, se apeló a la “universalidad” de la matemática correspondiente a los símbolos que se utilizan para matematizar situaciones como las planteadas. La transición fue aceptada, aunque no se dejó de criticar, por parte de los estudiantes, lo conveniente que resultaban, para las situaciones estudiadas, los símbolos escogidos por ellos.Asumiendo que el profesor y el estudiante constituyen interactivamente la cultura del aula y que cada vez que se actúa sobre un objeto se utiliza un proceso interpretativo, se procedió a la enseñanza de las operaciones básicas, bajo la pauta de partir del conocimiento que el estudiante trae de las mismas con los números naturales, se introduce la regla de los signos y sin omitir ningún signo se procede a diferenciar los dos significados que adquieren la cruz y el guión haciendo un paralelismo con la palabras polisémicas en el castellano.Esto permitió negociar con los estudiantes cuando una cruz indica el signo de un número o cuando indica la operación de adición. De igual manera, se procedió con el guión. Se evitaron, al principio, cualquier tipo de simplificación en la escritura de las sumas algebraicas. Por ejemplo, al escribir una suma algebraica se procedió a hacerlo así:
(+3) + (+9) – (+15) – (-5) + (-34) + (7) – (+13) =
en vez de:
3 + 9 – 15 – (-5) + (-34) + 7 – 13 =
Una vez dominado el algoritmo para el desarrollo de esta operación se apeló de nuevo a la “universalidad” de la matemática y a la necesidad de simplificar la simbología escrita, realmente se efectuaban largas e interminables sesiones de ejercitación[2] sin obviar ningún símbolo. Porque el significado se desarrolla en la interacción e interpretación entre los miembros de una cultura, (Godino y Llinares, 2 000, pág. 3) y se aceptó que un número que no posea un símbolo que indique su signo se asume que es positivo.Cada nuevo significado, se negociaba después de un conjunto de acciones, que en nuestro caso era la ejercitación, los significados surgían así en el contexto de los ejercicios de matemática.La practica desarrollada no sólo planteaba la negociación de los significados con los estudiantes, sino que se planteaba no presentar caminos abreviados que no surgieran de una necesidad compartida de abreviar o de una adecuación a la simbología más usual en los libros de matemática, incluyendo los libros de texto.Este procedimiento permitió mejorar el rendimiento de los estudiantes en la resolución de ejercicios no contextualizados de operaciones con números enteros.
El reto del aula para el docente
Es necesario, más no suficiente, el que el docente tenga un dominio conceptual e instrumental de la matemática que desea enseñar, debe aceptar que en el mundo actual los alumnos vienen inmersos de infinitos significados que están presentes en su entorno social y que algunos, al ser compartidos con la matemática, adquieren distintos significados que debe codificar de nuevo y ubicarlos de forma consciente en distintos contextos.La perspectiva interaccionista postula el carácter discursivo del conocimiento. En particular, las matemáticas son vistas como un tipo particular de discurso. 'El discurso', sin embargo, no es sólo 'lenguaje'; es lenguaje-en-acción, o lenguaje como un medio para lograr fines cognitivos, sociales u otros. Como discurso, las matemáticas establecen un cierto universo: las matemáticas son un modo de ver el mundo, y de pensar sobre él. Como este universo se establece por medio de la comunicación y la construcción de convenciones y comprensiones compartidas de los contextos, el tipo de conocimiento matemático que los estudiantes desarrollan depende de las características de las situaciones de comunicación en que se desarrollan. (Godino y Llinares, 2 000, pág. 4)Entonces el reto del profesor se acrecienta, no basta generar un proceso de negociación de significados con el estudiante, se deben propiciar los contextos adecuados dentro del aula que permitan la construcción e incorporación de los significados compartidos por todos los que están presentes en ese hecho social que es la clase de matemáticas, recordando que la ciencia también está presente a través de los textos.No se debe dejar el trabajo sólo en el lenguaje, la experiencia es vital para la formación del significado culturalmente consensual. Donde la visión de cada uno de los estudiantes debe ser cotejada permanentemente y donde, seguramente, el profesor enriquece su visión y acción docente. El aprendizaje, así, es “un proceso personal de formación, un proceso de adaptación interactiva a una cultura a través de la participación activa en dicha cultura, más que una transmisión de normas y conocimiento objetivado”. (Godino y Llinares, 2 000, pág. 5
El reto fuera del aula
Ya hemos hablado del docente dentro del aula, ahora bien, fuera de ella va a tener que preparar lo que cotidianamente sucede y sucederá dentro; además, está el reto de acompañar a los estudiantes una vez que salen del aula y es aquí donde los materiales escritos juegan un papel importante, en especial, los libros de texto.Pese a lo extenso del planteamiento anterior, es conveniente poner en el tapete un modelo que es útil tanto dentro como fuera del aula y es el modelo de los Dominios de Experiencia Subjetiva (DES), desarrollada por H. Bauersfeld, G. Krummheuer y J. Voigt (1 988, citados por Godino y Llinares, 2 000, pág. 8) que tienen múltiples conexiones con la teoría de la Cognición Situada, desarrollada entre otros por P. Cobb, J. Bowers (1 999), J. Brown, A. Collins, y P. Duguid (1 989) y E. Billett (1 996).Según el modelo de los DES, cada una de las experiencias escolares vividas por el estudiante, se dan en un contexto determinado, el cual el docente puede ayudar a crear. Estas experiencias no están limitadas a los aspectos cognitivos de la misma, sino que abarcan aspectos emocionales y creencias. “Por tanto, cada DES está formado inevitablemente por la totalidad y la complejidad de la situación en la misma medida en que ha sido experimentado y procesado como relevante por el sujeto”(Godino y Llinares,.2 000, pág. 8)Estos DES funcionan para cada dominio de manera específica, los conocimientos, las habilidades y las destrezas no están disponibles de manera general, sino contextualizadas en las circunstancias que fueron creadas por el estudiante. Sin embargo, los DES no están desconectados entre sí, así como las experiencias tampoco. En términos matemáticos los DES son un cubrimiento pero no son una partición.La realización subjetiva del tema matemático permanece por tanto ligada al contexto de la experiencia, a las materializaciones usadas, y a la interacción social, mientras que al mismo tiempo el DES se desarrolla por medio de las construcciones activas y espontáneas de significado por el sujeto. (Godino y Llinares, 2 000, pág. 9)El docente tiene entonces la responsabilidad del diseño de experiencias conectadas con el contexto del estudiante, de las profesiones y de la matemática, y mientras más ricas y complejas esas experiencias, más globales y abarcantes serán los DES que construyan los estudiantes. De ahí que los materiales escritos que acompañan al estudiante al salir del aula deben propiciar las experiencias que hemos mencionado y los libros de textos más adecuados serán aquellos que propician experiencias que van más allá de la simple ejercitación que sólo permite la adquisición de ciertas habilidades numéricas prescindibles gracias al desarrollo de la tecnología.
Conclusión
Estamos de acuerdo con Arthur Baroody (2 000, pág. 13) cuando nos dice:
El conocimiento de las matemáticas básicas es un instrumento indispensable en nuestra sociedad. Contar objetos, leer y escribir números, realizar cálculos aritméticos y razonar con números son aspectos de muchas de las tareas más sencillas con que se enfrentan cada día las personas adultas. Además de su importancia como técnica de supervivencia, las matemáticas básicas son el fundamento de los conocimientos científicos y matemáticos que exigen muchos puestos de trabajo de nuestra sociedad tecnológicamente avanzada.Compartir este planteamiento compromete en las acciones que se desarrollan, dentro y fuera del aula, por una educación matemática para nuestros estudiantes.Con base en lo expuesto en este artículo, este planteamiento tiene varias implicaciones:
Debemos aceptar al estudiante como un interlocutor válido con creencias y concepciones.
Debemos crear dentro y fuera del aula el espacio de experiencias para que la convivencia entre el profesor de matemáticas y las matemáticas mismas y el alumno sean cada vez más congruentes.
Las teorías y la experiencia guían nuestras acciones, pero el contexto del aula y de nuestros estudiantes las determina.
Necesitamos comprender que para que el estudiante adquiera el dominio matemático que deseamos, debe vivir un proceso del cual somos los principales responsables.
Se hace necesario aceptar que nuestra acción entrelaza en el alumno lo cognitivo con lo socio-emocional
En fin, en la experiencia narrada, las propuestas del Interaccionismo Simbólico nos llevaron junto a los estudiantes de seis secciones de 7° grado a una realización que siempre estuvo motorizada por un deseo, inspirado en lo observado en las evaluaciones y realizaciones matemáticas de estudiantes como ellos. Y así continua el reto.
BIBLIOGRAFÍA
Amigues, R. y Zerbato-Poudou, M. (1 999). Las prácticas escolares de aprendizaje y evaluación. México: Fondo de Cultura Económica.
Baroody, A. (2 000). El pensamiento matemático de los niños. España: Visor.
Billett, S. (1 996). Situated Learning: Bridging Sociocultural and Cognitive Theorising. Learning and Instruction. 6 (3): 263-280
Brown, J. S., Collins, A. Y Duguid, P. (1989). Situated cognition and the culture of learning. Educational Researcher, January-February: 32-42.
Cobb, P. y Bowers, J. (1 999). Cognitive and Situated Learning Perspectives in Theory and Practice. Educational Researcher.28 (2): 4-15
Godino, J. y Llinares, S. (2 000). El Interaccionismo Simbólico en Educación Matemática. Educación Matemática, 12 (1):70-92
González, L. (1 998). La Comunicación Humana como Interacción Simbólica. En Línea disponible http://www.ucaldas.edu.co/prop/tsocial/luicom.html 10/01/02 (download).
Hernández, G. (1 998). Paradigmas en psicología de la educación.México: Paidós.
Míguez, A. y Becerra, R. (1 988). Un estudio comparativo de los efectos de dos estrategias de enseñanza de habilidades de adición y sustracción en estudiantes del séptimo grado de educación básica. XXXVIII Convención Anual de ASOVAC, p. 79.
Pimm, D. (1 990). El lenguaje matemático en el aula. España: Morata.
Schön, D. (1 998). El profesional reflexivo. Cómo piensan los profesionales cuando actúan. España: Paidós.
[1]La perspectiva del Interaccionismo Simbólico se basa en el pensamiento y los escritos de H. Mead, H. Blumer y E. Cassirer.
[2]El objetivo era la internalización y memorización de los procedimientos